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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
k) $f(x)=\ln x$, eje $x, x=\frac{1}{e}, x=e$

Respuesta

Vamos con el último de esta tanda!

En este problema tenemos dos funciones involucradas:
$ f(x) = \ln x $
$ g(x) = 0 $ Además, nos imponen los límites de integración \( x = \frac{1}{e} \) y \( x = e \). 1) Buscamos los puntos de intersección entre \( f \) y \( g \) $ \ln x = 0 $
$ x = 1 $ El punto de intersección es \( x = 1 \). 2) Techo y piso  
En el intervalo $(1/e, 1)$ -> El eje $x$ es techo y $f$ es piso

En el intervalo $(1,e)$ -> La función $f$ es techo y el eje $x$ es piso
  3) Planteamos la integral del área $ A = \int_{\frac{1}{e}}^{1} (0 - \ln x) \, dx + \int_{1}^{e} (\ln x - 0) \, dx $

La integral $\int \ln(x) \, dx$ ya la resolvimos un par de veces en la práctica anterior y también la hicimos por primera vez en la clase "Integrales que salen por partes usando algún truquito". El resultado al que habíamos llegado es:

$\int \ln(x) \, dx = x \cdot \ln(x) - x$

Ahora, usando esto, calculamos cada integral por separado (asi no se hace tan cuentoso)

Integral 1

$\int_{\frac{1}{e}}^{1} - \ln x \, dx = -x \cdot \ln(x) + x \Big|_{\frac{1}{e}}^{1} = 1 - ( -\frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} + \frac{1}{e}) = 1 + \frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} - \frac{1}{e}$

Si ponés en la calcu $\ln \frac{1}{e}$ vas a ver que es igual a $-1$, así que el resultado de esta integral nos queda:

$ 1 + \frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} - \frac{1}{e} = 1 -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} = 1 -\frac{2}{e}$

Integral 2

$ \int_{1}^{e} \ln x \, dx =  x \cdot \ln(x) - x \Big|_{1}^{e} = e - e -(-1) = 1$

Sumamos los dos resultados y obtenemos:

$ A = \int_{\frac{1}{e}}^{1} (0 - \ln x) \, dx + \int_{1}^{e} (\ln x - 0) \, dx = 1 -\frac{2}{e} + 1 = 2 -\frac{2}{e}$

Por lo tanto, el área encerrada es $2 -\frac{2}{e}$
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Avatar Andrés 20 de junio 20:51
2025-06-20%2020:49:56_2079292.png
Hola, tenía dudas con la resolución del ejercicio ya que no me dió lo mismo.

Avatar Flor Profesor 22 de junio 14:21
@Andrés Hola Andrés! Fijate que en la resolución que yo estoy viendo en tu hoja, la integral 1 (que sería la de ln(x)) vos la tenés entre 1 y 1/e, y la integral 2 (que sería la de -ln(x)) la tenés entre 1 y e 

Pero si te fijas en mi resolución es al revés, fijate cómo me quedaron la Integral 1 y la Integral 2 (justo al revés), así que está ahi el tema
Avatar Andres 12 de junio 16:22
Hola flor, pregunto aca ya que no se por donde hacerlo, los ejercicios 2,3 y 4 no me aparecen en la guia por algo?
Avatar Flor Profesor 12 de junio 18:29
@Andres Hola Andrés! De esta guía no resolví los ejercicios 2, 3 y 4 + los de "Problemas y complementos" porque quiero llegar a terminar el curso de Álgebra para que esté listo para el segundo cuatri y me está llevando muchísimo laburo! Entonces por eso ejercicios como esos (que no tienen mucho que ver con el enfoque de los parciales y que encima me iba a ser bastante difícil explicarlos en texto y que se entiendan, especialmente los de Problemas y complementos) prioricé no hacerlos por ahora! 

Vas a ver que de las otras guías del 2do parcial tampoco están los ejercicios de Problemas y Complementos... Tranqui que lo hice porque se que ninguno iba a ser crucial para que encaren el examen jaja
Avatar Andres 13 de junio 10:05
Bueno muchas gracias!

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